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高中数学必修1课后习题答案

发布: 2015-11-12 |  作者: admin |  浏览:

 
1.1 集合 .
 
1.1.1 集合的含义与表示 . .
 
练习( 练习(第 5 页) 1.用符号“ ∈ ”或“ ? ”填空: (1)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国 A ,美国 A , 印度 A ,英国 A ;
 
(2)若 A = {x | x 2 = x} ,则 ?1  A ; (3)若 B = {x | x + x ? 6 = 0} ,则 3  B ;
 
2
(4)若 C = {x ∈ N |1 ≤ x ≤ 10} ,则 8  C , 9.1  C . 1. (1)中国 ∈ A ,美国 ? A ,印度 ∈ A ,英国 ? A ; 中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲. (2) ?1 ? A (3) 3 ? B
A = {x | x 2 = x} = {0,1} . B = {x | x 2 + x ? 6 = 0} = {?3, 2} .
(4) 8 ∈ C , 9.1 ? C 9.1 ? N . 2.试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程 x ? 9 = 0 的所有实数根组成的集合;
 
2
(2)由小于 8 的所有素数组成的集合; (3)一次函数 y = x + 3 与 y = ?2 x + 6 的图象的交点组成的集合; (4)不等式 4 x ? 5 < 3 的解集. 2.解: (1)因为方程 x ? 9 = 0 的实数根为 x1 = ?3, x2 = 3 ,
 
2
所以由方程 x ? 9 = 0 的所有实数根组成的集合为 {?3,3} ;
 
2
(2)因为小于 8 的素数为 2,3, 5, 7 , 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2,3, 5, 7} ;
(3)由 ?
?y = x +3 ?x = 1 ,得 ? , ? y = ?2 x + 6 ?y = 4
即一次函数 y = x + 3 与 y = ?2 x + 6 的图象的交点为 (1, 4) ,
所以一次函数 y = x + 3 与 y = ?2 x + 6 的图象的交点组成的集合为 {(1, 4)} ; (4)由 4 x ? 5 < 3 ,得 x < 2 , 所以不等式 4 x ? 5 < 3 的解集为 {x | x < 2} .
1.1.2 集合间的基本关系 . .
 
练习( 练习(第 7 页)
 
1.写出集合 {a, b, c} 的所有子集. 1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得 ? ; 取一个元素,得 {a},{b},{c} ; 取两个元素,得 {a, b},{a, c},{b, c} ; 取三个元素,得 {a, b, c} , 即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} . 2.用适当的符号填空: (1) a  {a, b, c} ; (3) ?  {x ∈ R | x 2 + 1 = 0} ; (5) {0}  {x | x 2 = x} ; 2. (1) a ∈ {a, b, c} (2) 0 ∈ {x | x 2 = 0} (2) 0  {x | x 2 = 0} ; (4) {0,1}  N ; (6) {2,1}  {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} .
a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素;
 
{x | x 2 = 0} = {0} ;
 
方程 x + 1 = 0 无实数根, {x ∈ R | x 2 + 1 = 0} = ? ;
 
2
(3) ? = {x ∈ R | x 2 + 1 = 0} (4) {0,1} (5) {0}
N
(或 {0,1} ? N )
{0,1} 是自然数集合 N 的子集,也是真子集; {x | x 2 = x} = {0,1} ;
{x | x 2 = x}
(或 {0} ? {x | x 2 = x} )
 
2
(6) {2,1} = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} 3.判断下列两个集合之间的关系:
方程 x ? 3 x + 2 = 0 两根为 x1 = 1, x2 = 2 .
(1) A = {1, 2, 4} , B = {x | x是 8 的约数} ; (2) A = {x | x = 3k , k ∈ N } , B = {x | x = 6 z , z ∈ N } ; (3) A = {x | x是 4 与 10 的公倍数,x ∈ N + } , B = {x | x = 20m, m ∈ N + } .
3.解: (1)因为 B = {x | x是 8 的约数} = {1, 2, 4,8} ,所以 A
B;
(2)当 k = 2 z 时, 3k = 6 z ;当 k = 2 z + 1 时, 3k = 6 z + 3 , 即 B 是 A 的真子集, B
A;
(3)因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ,所以 A = B .
1.1.3 集合的基本运算 . .
 
练习( 练习(第 11 页)
 
1.设 A = {3, 5, 6,8}, B = {4,5, 7,8} ,求 A I B, A U B . 1.解: A I B = {3, 5, 6,8} I {4, 5, 7,8} = {5,8} ,
A U B = {3,5, 6,8} U {4,5, 7,8} = {3, 4,5, 6, 7,8} .
 
2.设 A = {x | x 2 ? 4 x ? 5 = 0}, B = {x | x 2 = 1} ,求 A I B, A U B . 2.解:方程 x ? 4 x ? 5 = 0 的两根为 x1 = ?1, x2 = 5 ,
 
2
方程 x ? 1 = 0 的两根为 x1 = ?1, x2 = 1 ,
 
2
得 A = {?1,5}, B = {?1,1} , 即 A I B = {?1}, A U B = {?1,1,5} . 3.已知 A = {x | x是等腰三角形} , B = {x | x是直角三角形} ,求 A I B, A U B . 3.解: A I B = {x | x是等腰直角三角形} ,
A U B = {x | x是等腰三角形或直角三角形} .
 
4.已知全集 U = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7} , A = {2, 4,5}, B = {1,3,5, 7} , 求 A I (痧B ), ( U
 
U
A) I ( B) . U
4.解:显然 e B = {2, 4, 6} , e A = {1, 3, 6, 7} , U U 则 A I (e B ) = {2, 4} , (痧A) I ( U B ) = {6} . U U
1.1 集合 .
 
习题 1.1 . (第 11 页) 1.用符号“ ∈ ”或“ ? ”填空: A组
(1) 3
2  Q ; 7
(2) 3  N ;
2
(3) π  Q ;
(4) 2  R ; 1. (1) 3 ∈ Q (3) π ? Q (5) 9 ∈ Z
(5) 9  Z ; (6) ( 5) 2  N . (2) 3 ∈ N
 
2
2 7
2 3 是有理数; 7
32 = 9 是个自然数;
π 是个无理数,不是有理数; (4) 2 ∈ R
 
9 = 3 是个整数;
 
(6) ( 5) 2 ∈ N
2 是实数;
 
( 5) 2 = 5 是个自然数.
2.已知 A = {x | x = 3k ? 1, k ∈ Z } ,用 “ ∈ ”或“ ? ” 符号填空: (1) 5  A ; (2) 7  A ; (3) ?10  A . 2. (1) 5 ∈ A ; (2) 7 ? A ; (3) ?10 ∈ A . 当 k = 2 时, 3k ? 1 = 5 ;当 k = ?3 时, 3k ? 1 = ?10 ; 3.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数; (2) A = {x | ( x ? 1)( x + 2) = 0} ; (3) B = {x ∈ Z | ?3 < 2 x ? 1 ≤ 3} . 3.解: (1)大于 1 且小于 6 的整数为 2,3, 4, 5 ,即 {2,3, 4, 5} 为所求; (2)方程 ( x ? 1)( x + 2) = 0 的两个实根为 x1 = ?2, x2 = 1 ,即 {?2,1} 为所求; (3)由不等式 ?3 < 2 x ? 1 ≤ 3 ,得 ?1 < x ≤ 2 ,且 x ∈ Z ,即 {0,1, 2} 为所求. 4.试选择适当的方法表示下列集合: (1)二次函数 y = x 2 ? 4 的函数值组成的集合; (2)反比例函数 y =
2 的自变量的值组成的集合; x (3)不等式 3 x ≥ 4 ? 2 x 的解集.
 
2 2
4.解: (1)显然有 x ≥ 0 ,得 x ? 4 ≥ ?4 ,即 y ≥ ?4 , 得二次函数 y = x 2 ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ≥ ?4} ; (2)显然有 x ≠ 0 ,得反比例函数 y =
2 的自变量的值组成的集合为 {x | x ≠ 0} ; x 4 4 (3)由不等式 3 x ≥ 4 ? 2 x ,得 x ≥ ,即不等式 3 x ≥ 4 ? 2 x 的解集为 {x | x ≥ } . 5 5
5.选用适当的符号填空: (1)已知集合 A = {x | 2 x ? 3 < 3 x}, B = {x | x ≥ 2} ,则有:
?4  B ;
?3  A ; {2}  B ;
 
2
B  A ;
(2)已知集合 A = {x | x ? 1 = 0} ,则有:
1  A ; {?1}  A ; ?  A ; {1, ?1}  A ;
 
(3) {x | x是菱形}  {x | x是平行四边形} ;
{x | x是等腰三角形}  {x | x是等边三角形} .
 
5. (1) ?4 ? B ;
?3 ? A ; {2}
B;
B
A;
2 x ? 3 < 3 x ? x > ?3 ,即 A = {x | x > ?3}, B = {x | x ≥ 2} ;
 
(2) 1 ∈ A ;
{?1}
A; ?
A ; {1, ?1} = A ;
A = {x | x 2 ? 1 = 0} = {?1,1} ;
 
(3) {x | x是菱形}
{x | x是平行四边形} ;
菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;
{x | x是等边三角形}
{x | x是等腰三角形} .
等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形. 6.设集合 A = {x | 2 ≤ x < 4}, B = {x | 3 x ? 7 ≥ 8 ? 2 x} ,求 A U B, A I B . 6.解: 3 x ? 7 ≥ 8 ? 2 x ,即 x ≥ 3 ,得 A = {x | 2 ≤ x < 4}, B = {x | x ≥ 3} , 则 A U B = {x | x ≥ 2} , A I B = {x | 3 ≤ x < 4} . 7.设集合 A = {x | x是小于 9 的正整数} , B = {1, 2,3}, C = {3, 4, 5, 6} ,求 A I B ,
A I C , A I (B U C) , A U (B I C) .
 
7.解: A = {x | x是小于 9 的正整数} = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , 则 A I B = {1, 2,3} , A I C = {3, 4, 5, 6} , 而 B U C = {1, 2,3, 4, 5, 6} , B I C = {3} , 则 A I ( B U C ) = {1, 2, 3, 4,5, 6} ,
A U ( B I C ) = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8} .
8.学校里开运动会,设 A = {x | x是参加一百米跑的同学} ,
B = {x | x是参加二百米跑的同学} , C = {x | x是参加四百米跑的同学} ,
 
学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定, 并解释以下集合运算的含义: (1) A U B ; (2) A I C . 8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项, 即为 ( A I B ) I C = ? . (1) A U B = {x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学} ; (2) A I C = {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学} . 9.设 S = {x | x是平行四边形或梯形} , A = {x | x是平行四边形} , B = {x | x是菱形} ,
C = {x | x是矩形} ,求 B I C , eA B , eS A .
 
9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B I C = {x | x是正方形} , 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形, 即 eA B = {x | x是邻边不相等的平行四边形} ,
eS A = {x | x是梯形} .
 
10.已知集合 A = {x | 3 ≤ x < 7}, B = {x | 2 < x < 10} ,求 eR ( A U B ) , eR ( A I B ) ,
(eR A) I B , A U (eR B ) .
 
10.解: A U B = {x | 2 < x < 10} , A I B = {x | 3 ≤ x < 7} ,
eR A = {x | x < 3, 或x ≥ 7} , eR B = {x | x ≤ 2, 或x ≥ 10} ,
 
得 eR ( A U B ) = {x | x ≤ 2, 或x ≥ 10} ,
eR ( A I B ) = {x | x < 3, 或x ≥ 7} , (eR A) I B = {x | 2 < x < 3, 或7 ≤ x < 10} , A U (eR B ) = {x | x ≤ 2, 或3 ≤ x < 7或x ≥ 10} .
B组
 
1.已知集合 A = {1, 2} ,集合 B 满足 A U B = {1, 2} ,则集合 B 有 1. 4 个.
集合 B 满足 A U B = A ,则 B ? A ,即集合 B 是集合 A 的子集,得 4 个子集.
2.在平面直角坐标系中,集合 C = {( x, y ) | y = x} 表示直线 y = x ,从这个角度看, 集合 D = ?( x, y ) | ?
? ?
?2 x ? y = 1 ? ? 表示什么?集合 C , D 之间有什么关系? ? x + 4 y = 5? ?2 x ? y = 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y = 1, x + 4 y = 5 的交点的集合, ? x + 4 y = 5?
2.解:集合 D = ?( x, y ) | ?
? ?
即 D = ?( x, y ) | ?
?
?
?2 x ? y = 1 ? ? = {(1,1)} ,点 D (1,1) 显然在直线 y = x 上, ? x + 4 y = 5?
得D
C.
3.设集合 A = {x | ( x ? 3)( x ? a ) = 0, a ∈ R} , B = {x | ( x ? 4)( x ? 1) = 0} ,求 A U B, A I B . 3.解:显然有集合 B = {x | ( x ? 4)( x ? 1) = 0} = {1, 4} , 当 a = 3 时,集合 A = {3} ,则 A U B = {1,3, 4}, A I B = ? ; 当 a = 1 时,集合 A = {1,3} ,则 A U B = {1,3, 4}, A I B = {1} ; 当 a = 4 时,集合 A = {3, 4} ,则 A U B = {1,3, 4}, A I B = {4} ; 当 a ≠ 1 ,且 a ≠ 3 ,且 a ≠ 4 时,集合 A = {3, a} , 则 A U B = {1,3, 4, a}, A I B = ? . 4.已知全集 U = A U B = {x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 10} , A I (e B ) = {1,3, 5, 7} ,试求集合 B . U 4.解:显然 U = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9,10} ,由 U = A U B , 得 e B ? A ,即 A I (痧B ) = U U
 
U
B ,而 A I (eU B) = {1,3, 5, 7} ,
得 e B = {1, 3,5, 7} ,而 B = 痧( U B ) , U U 即 B = {0, 2, 4, 6,8.9,10} .
第一章 第一章
集合与函数概念
1.2 函数及其表示 .
 
1.2.1 函数的概念 . .
 
练习( 练习(第 19 页)
 
1.求下列函数的定义域:
(1) f ( x ) =
1 ; 4x + 7
(2) f ( x ) = 1 ? x +
x + 3 ?1.
 
7 , 4
1.解: (1)要使原式有意义,则 4 x + 7 ≠ 0 ,即 x ≠ ? 得该函数的定义域为 {x | x ≠ ? } ; (2)要使原式有意义,则 ?
7 4
?1 ? x ≥ 0 ,即 ?3 ≤ x ≤ 1 , ?x + 3 ≥ 0
得该函数的定义域为 {x | ?3 ≤ x ≤ 1} . 2.已知函数 f ( x ) = 3 x + 2 x ,
 
2
(1)求 f (2), f ( ?2), f (2) + f ( ?2) 的值; (2)求 f ( a ), f ( ? a ), f ( a ) + f ( ? a ) 的值. 2.解: (1)由 f ( x ) = 3 x 2 + 2 x ,得 f (2) = 3 × 22 + 2 × 2 = 18 , 同理得 f ( ?2) = 3 × ( ?2) 2 + 2 × ( ?2) = 8 , 则 f (2) + f ( ?2) = 18 + 8 = 26 , 即 f (2) = 18, f ( ?2) = 8, f (2) + f ( ?2) = 26 ;
 
2 2 2 (2)由 f ( x ) = 3 x + 2 x ,得 f ( a ) = 3 × a + 2 × a = 3a + 2a ,
同理得 f ( ? a ) = 3 × ( ? a ) 2 + 2 × ( ? a ) = 3a 2 ? 2a , 则 f ( a ) + f ( ? a ) = (3a 2 + 2a ) + (3a 2 ? 2a ) = 6a 2 , 即 f ( a ) = 3a 2 + 2a, f ( ?a ) = 3a 2 ? 2a, f ( a ) + f ( ? a ) = 6a 2 . 3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由: (1)表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h = 130t ? 5t 和二次函数 y = 130 x ? 5 x 2 ;
 
2
(2) f ( x ) = 1 和 g ( x ) = x 0 . 3.解: (1)不相等,因为定义域不同,时间 t > 0 ; (2)不相等,因为定义域不同, g ( x ) = x 0 ( x ≠ 0) .
1.2.2 函数的表示法 . .
 
练习( 练习(第 23 页)
 
1.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 xcm ,
面积为 ycm ,把 y 表示为 x 的函数. 1.解:显然矩形的另一边长为 50 ? x cm ,
 
2 2
2
y = x 502 ? x 2 = x 2500 ? x 2 ,且 0 < x < 50 ,
 
即 y = x 2500 ? x (0 < x < 50) .
 
2
2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; (2)我骑着 车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
 
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
O
时间
O
时间
O
时间
O
时间
(A)
(B)
(C)
(D)
2.解:图象(A)对应事件(2) ,在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B)对应事件(3) ,刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D)对应事件(1) ,返回家里的时刻,离开家的距离又为零; 图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进. 3.画出函数 y =| x ? 2 | 的图象. 3.解: y =| x ? 2 |= ?
? x ? 2, x ≥ 2 ,图象如下所示. ?? x + 2, x < 2
4.设 与 A
A = {x | x是锐角}, B = {0,1} ,从 A 到 B 的映射是“求正弦” ,
 
中元素 60 相对应
 
o
的 么?
B 中的元素是什么?与 B 中的元素
2 相对应的 A 中元素是什 2
4.解:因为 sin 60 =
 
o
3 3 o ,所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是 ; 2 2
 
2 2 o ,所以与 B 中的元素 相对应的 A 中元素是 45 . 2 2
 
1.2 函数及其表示 . 习题 1.2(第 23 页) . (
因为 sin 45 =
 
o
1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) = (3) f ( x) =
3x ; x?4 6 ; x ? 3x + 2
 
2
(2) f ( x) = (4) f ( x ) =
x2 ;
 
4? x . x ?1
1.解: (1)要使原式有意义,则 x ? 4 ≠ 0 ,即 x ≠ 4 , 得该函数的定义域为 {x | x ≠ 4} ; (2) x ∈ R , f ( x ) =
x 2 都有意义,
即该函数的定义域为 R ; (3)要使原式有意义,则 x ? 3 x + 2 ≠ 0 ,即 x ≠ 1 且 x ≠ 2 ,
 
2
得该函数的定义域为 {x | x ≠ 1且x ≠ 2} ; (4)要使原式有意义,则 ?
?4 ? x ≥ 0 ,即 x ≤ 4 且 x ≠ 1 , ?x ?1 ≠ 0
得该函数的定义域为 {x | x ≤ 4且x ≠ 1} . 2.下列哪一组中的函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等? (1) f ( x ) = x ? 1, g ( x ) = (3) f ( x ) = x 2 , g ( x ) =
 
3
x2 ?1 ; x
(2) f ( x ) = x 2 , g ( x) = ( x ) 4 ;
x6 . x2 ? 1 的定义域为 {x | x ≠ 0} , x
2.解: (1) f ( x ) = x ? 1 的定义域为 R ,而 g ( x ) =
即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不相等; (2) f ( x ) = x 2 的定义域为 R ,而 g ( x ) = ( x ) 4 的定义域为 {x | x ≥ 0} ,
即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不相等; (3)对于任何实数,都有 x = x ,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同,
 
3 6 2
得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等. 3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域. (1) y = 3 x ; 3.解: (1) (2) y =
8 ; (3) y = ?4 x + 5 ; (4) y = x 2 ? 6 x + 7 . x
定义域是 ( ?∞, +∞ ) ,值域是 ( ?∞, +∞ ) ; (2)
定义域是 ( ?∞, 0) U (0, +∞) ,值域是 ( ?∞, 0) U (0, +∞) ;
(3)
定义域是 ( ?∞, +∞ ) ,值域是 ( ?∞, +∞ ) ; (4)
定义域是 ( ?∞, +∞ ) ,值域是 [ ?2, +∞ ) . 4.已知函数 f ( x) = 3 x 2 ? 5 x + 2 ,求 f ( ? 2) , f ( ? a ) , f ( a + 3) , f ( a ) + f (3) . 4.解:因为 f ( x ) = 3 x 2 ? 5 x + 2 ,所以 f ( ? 2) = 3 × ( ? 2) 2 ? 5 × ( ? 2) + 2 = 8 + 5 2 , 即 f ( ? 2) = 8 + 5 2 ; 同理, f ( ? a ) = 3 × ( ? a ) 2 ? 5 × ( ? a ) + 2 = 3a 2 + 5a + 2 , 即 f ( ? a ) = 3a 2 + 5a + 2 ;
f (a + 3) = 3 × (a + 3)2 ? 5 × (a + 3) + 2 = 3a 2 + 13a + 14 ,
 
即 f ( a + 3) = 3a 2 + 13a + 14 ;
f (a ) + f (3) = 3a 2 ? 5a + 2 + f (3) = 3a 2 ? 5a + 16 ,
 
即 f ( a ) + f (3) = 3a 2 ? 5a + 16 . 5.已知函数 f ( x ) =
x+2 , x?6
(1)点 (3,14) 在 f ( x ) 的图象上吗? (2)当 x = 4 时,求 f ( x ) 的值;
(3)当 f ( x ) = 2 时,求 x 的值. 5.解: (1)当 x = 3 时, f (3) =
3+ 2 5 = ? ≠ 14 , 3?6 3 4+2 = ?3 , 4?6
即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上; (2)当 x = 4 时, f (4) =
即当 x = 4 时,求 f ( x ) 的值为 ?3 ; (3) f ( x ) =
x+2 = 2 ,得 x + 2 = 2( x ? 6) , x?6 即 x = 14 .
6.若 f ( x) = x 2 + bx + c ,且 f (1) = 0, f (3) = 0 ,求 f ( ?1) 的值. 6.解:由 f (1) = 0, f (3) = 0 , 得 1,3 是方程 x + bx + c = 0 的两个实数根,
 
2
即 1 + 3 = ?b,1× 3 = c ,得 b = ?4, c = 3 , 即 f ( x) = x 2 ? 4 x + 3 ,得 f ( ?1) = ( ?1) 2 ? 4 × (?1) + 3 = 8 , 即 f ( ?1) 的值为 8 . 7.画出下列函数的图象: (1) F ( x) = ?
?0, x ≤ 0 ; ?1, x > 0
(2) G ( n) = 3n + 1, n ∈ {1, 2, 3} .
7.图象如下:
8.如图,矩形的面积为 10 ,如果矩形的长为 x ,宽为 y ,对角线为 d , 周长为 l ,那么你能获得关于这些量的哪些函数?
8.解:由矩形的面积为 10 ,即 xy = 10 ,得 y =
10 10 ( x > 0) , x = ( y > 0) , x y
由对角线为 d ,即 d =
x 2 + y 2 ,得 d = x 2 +
100 ( x > 0) , x2
由周长为 l ,即 l = 2 x + 2 y ,得 l = 2 x +
20 ( x > 0) , x
另外 l = 2( x + y ) ,而 xy = 10, d 2 = x 2 + y 2 , 得 l = 2 ( x + y ) = 2 x + y + 2 xy = 2 d + 20 ( d > 0) ,
 
2 2 2 2
即 l = 2 d 2 + 20 ( d > 0) . 9.一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm ,现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种溶液.求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域. 9.解:依题意,有 π ( ) x = vt ,即 x =
 
2
 
3
d 2
4v t, πd2
显然 0 ≤ x ≤ h ,即 0 ≤
4v hπ d 2 t ≤ h ,得 0 ≤ t ≤ , πd2 4v
hπ d 2 得函数的定义域为 [0, ] 和值域为 [0, h] . 4v
 
10.设集合 A = {a, b, c}, B = {0,1} ,试问:从 A 到 B 的映射共有几个? 并将它们分别表示出来. 10.解:从 A 到 B 的映射共有 8 个.
? f (a ) = 0 ? f (a ) = 0 ? f (a ) = 0 ? f (a ) = 0 ? ? ? ? 分别是 ? f (b) = 0 , ? f (b) = 0 , ? f (b) = 1 , ? f (b) = 0 , ? f (c ) = 0 ? f (c ) = 1 ? f (c ) = 0 ? f (c ) = 1 ? ? ? ? ? f (a) = 1 ? f (a) = 1 ? f (a) = 1 ? f (a) = 1 ? ? ? ? ? f (b) = 0 , ? f (b) = 0 , ? f (b) = 1 , ? f (b) = 0 . ? f (c) = 0 ? f (c) = 1 ? f (c) = 0 ? f (c) = 1 ? ? ? ?
B组
 
1.函数 r = f ( p ) 的图象如图所示. (1)函数 r = f ( p ) 的定义域是什么? (2)函数 r = f ( p ) 的值域是什么? (3) r 取何值时,只有唯一的 p 值与之对应? 1.解: (1)函数 r = f ( p ) 的定义域是 [ ?5, 0] U [2, 6) ; (2)函数 r = f ( p ) 的值域是 [0, +∞ ) ; (3)当 r > 5 ,或 0 ≤ r < 2 时,只有唯一的 p 值与之对应. 2.画出定义域为 {x | ?3 ≤ x ≤ 8, 且x ≠ 5} ,值域为 { y | ?1 ≤ y ≤ 2, y ≠ 0} 的一个函数的图象. (1)如果平面直角坐标系中点 P ( x, y ) 的坐标满足 ?3 ≤ x ≤ 8 , ?1 ≤ y ≤ 2 ,那么其中哪些点不能在图象 上? (2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗? 2.解:图象如下, (1)点 ( x, 0) 和点 (5, y ) 不能在图象上; (2)省略.
3.函数 f ( x ) = [ x ] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如, [ ?3.5] = ?4 , [2.1] = 2 . 当 x ∈ ( ?2.5,3] 时,写出函数 f ( x ) 的解析式,并作出函数的图象.
??3, ? 2.5 < x < ?2 ??2, ? 2 ≤ x < ?1 ? ??1, ? 1 ≤ x < 0 ? 3.解: f ( x) = [ x] = ?0, 0 ≤ x < 1 ?1, 1 ≤ x < 2 ? ?2, 2 ≤ x < 3 ?3, x = 3 ?
 
图象如下
4. 如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km , 从点 P 沿海岸正东 12km 处有一个城镇.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km / h ,步行的速度是 5km / h , t (单位: h )表示他从小岛 到城镇的时间, x (单位: km )表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 t 表示为 x 的函数. (2)如果将船停在距点 P 4km 处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到 1h )? 4.解: (1)驾驶小船的路程为 x + 2 ,步行的路程为 12 ? x ,
 
2 2
得t =
x 2 + 22 12 ? x + , (0 ≤ x ≤ 12) , 3 5 x 2 + 4 12 ? x + , (0 ≤ x ≤ 12) . 3 5
即t =
42 + 4 12 ? 4 2 5 8 + = + ≈ 3 ( h) . (2)当 x = 4 时, t = 3 5 3 5
第一章 第一章
集合与函数概念
 
1.3 函数的基本性质 .
1.3.1 单调性与最大(小)值 . . 单调性与最大(
 
练习( 练习(第 32 页)
 
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.
1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率 达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人 越多,生产效率就越高. 2.整个上午 (8 : 00
12 : 00) 天气越来越暖,中午时分 (12 : 00 13 : 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许
 
20 : 00 期间气温
多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间. 2.解:图象如下
[8,12] 是递增区间, [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间.
3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.
3.解:该函数在 [ ?1, 0] 上是减函数,在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数, 在 [4,5] 上是增函数.
4.证明函数 f ( x ) = ?2 x + 1 在 R 上是减函数. 4.证明:设 x1 , x2 ∈ R ,且 x1 < x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ?2( x1 ? x2 ) = 2( x2 ? x1 ) > 0 , 即 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 所以函数 f ( x) = ?2 x + 1 在 R 上是减函数. 5.设 f ( x) 是定义在区间 [ ?6,11] 上的函数.如果 f ( x) 在区间 [ ?6, ?2] 上递减,在区间 [ ?2,11] 上递增,画 出 f ( x) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f ( ?2) 是函数 f ( x) 的一个 5.最小值. .
1.3.2 单调性与最大(小)值 . . 单调性与最大(
 
练习( 练习(第 36 页)
 
1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) = 2 x 4 + 3 x 2 ; (2) f ( x) = x3 ? 2 x
x2 + 1 (3) f ( x) = ; x
(4) f ( x) = x 2 + 1 .
1.解: (1)对于函数 f ( x) = 2 x 4 + 3 x 2 ,其定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f ( ? x) = 2( ? x) 4 + 3( ? x) 2 = 2 x 4 + 3 x 2 = f ( x) , 所以函数 f ( x) = 2 x 4 + 3 x 2 为偶函数; (2)对于函数 f ( x) = x3 ? 2 x ,其定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f ( ? x) = ( ? x)3 ? 2( ? x) = ?( x 3 ? 2 x) = ? f ( x) , 所以函数 f ( x) = x3 ? 2 x 为奇函数; (3)对于函数 f ( x) =
x2 + 1 ,其定义域为 ( ?∞, 0) U (0, +∞) ,因为对定义域内 x
(? x)2 + 1 x2 + 1 每一个 x 都有 f ( ? x) = =? = ? f ( x) , ?x x
 
所以函数 f ( x) =
x2 + 1 为奇函数; x
(4)对于函数 f ( x) = x + 1 ,其定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,因为对定义域内
 
2
每一个 x 都有 f ( ? x) = ( ? x) + 1 = x + 1 = f ( x) ,
 
2 2
所以函数 f ( x) = x + 1 为偶函数.
 
2
2.已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x ) 是奇函数,试将下图补充完整.
2.解: f ( x ) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的;
g ( x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.
习题 1.3 .
 
A组
 
1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数 y = f ( x) 的单调区间,以及在各单调区间 上函数 y = f ( x) 是增函数还是减函数. ( 1 ) y = x2 ? 5x ? 6 ; 1.解: (1) (2) y = 9 ? x .
 
2
函数在 (?∞, ) 上递减;函数在 [ , +∞ ) 上递增; (2)
5 2
5 2
函 2.证明:
(?∞, 0) 上递增;函数在 [0, +∞) 上递减.
(1)函数 f ( x) = x 2 + 1 在 (?∞, 0) 上是减函数; (2)函数 f ( x ) = 1 ?
1 在 (?∞, 0) 上是增函数. x
 
2 2
2.证明: (1)设 x1 < x2 < 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x1 ? x2 = ( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) , 由 x1 + x2 < 0, x1 ? x2 < 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 , 即 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) = x 2 + 1 在 (?∞, 0) 上是减函数; (2)设 x1 < x2 < 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =
1 1 x1 ? x2 ? = , x2 x1 x1 x2
由 x1 x2 > 0, x1 ? x2 < 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 , 即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) = 1 ?
1 在 (?∞, 0) 上是增函数. x
3.探究一次函数 y = mx + b( x ∈ R ) 的单调性,并证明你的结论. 3.解:当 m > 0 时,一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是增函数;
当 m < 0 时,一次函数 y = mx + b 在 (?∞, +∞ ) 上是减函数, 令 f ( x ) = mx + b ,设 x1 < x2 , 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = m( x1 ? x2 ) , 当 m > 0 时, m( x1 ? x2 ) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 得一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是增函数; 当 m < 0 时, m( x1 ? x2 ) > 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 得一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是减函数. 4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图). 4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为
y=?
 
少?
x2 + 162 x ? 21000 ,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 50
x2 5.解:对于函数 y = ? + 162 x ? 21000 , 50
 
当x=?
162 1 2 × (? ) 50
= 4050 时, ymax = 307050 (元) ,
即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元. 6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x (1 + x ) .画出函数 f ( x ) 的图象,并求出函数的解析式. 6.解:当 x < 0 时, ? x > 0 ,而当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x (1 + x ) , 即 f ( ? x ) = ? x (1 ? x) ,而由已知函数是奇函数,得 f ( ? x ) = ? f ( x) , 得 ? f ( x ) = ? x (1 ? x) ,即 f ( x ) = x (1 ? x) ,
所以函数的解析式为 f ( x) = ?
? x(1 + x), x ≥ 0 . ? x(1 ? x), x < 0
B组
 
1.已知函数 f ( x) = x ? 2 x , g ( x) = x ? 2 x ( x ∈ [2, 4]) .
 
2 2
(1)求 f ( x ) , g ( x ) 的单调区间; (2)求 f ( x ) , g ( x ) 的最小值. 1.解: (1)二次函数 f ( x ) = x ? 2 x 的对称轴为 x = 1 ,
 
2
则函数 f ( x ) 的单调区间为 ( ?∞,1),[1, +∞ ) , 且函数 f ( x ) 在 ( ?∞,1) 上为减函数,在 [1, +∞ ) 上为增函数, 函数 g ( x ) 的单调区间为 [2, 4] , 且函数 g ( x ) 在 [2, 4] 上为增函数; (2)当 x = 1 时, f ( x ) min = ?1 , 因为函数 g ( x ) 在 [2, 4] 上为增函数, 所以 g ( x ) min = g (2) = 2 ? 2 × 2 = 0 .
 
2
2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是 30m ,那么宽 x (单位: m )为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积 是多少?
2.解:由矩形的宽为 x m ,得矩形的长为 则S = x
30 ? 3 x m ,设矩形的面积为 S , 2
30 ? 3 x 3( x 2 ? 10 x) =? , 2 2
 
2
当 x = 5 时, S max = 37.5 m , 即宽 x = 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m 2 .
3.已知函数 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0, +∞ ) 上是减函数,判断 f ( x ) 在 (?∞, 0) 上是增函数还是减函数,并 证明你的判断. 3.判断 f ( x ) 在 (?∞, 0) 上是增函数,证明如下: 设 x1 < x2 < 0 ,则 ? x1 > ? x2 > 0 , 因为函数 f ( x) 在 (0, +∞ ) 上是减函数,得 f ( ? x1 ) < f ( ? x2 ) , 又因为函数 f ( x) 是偶函数,得 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 所以 f ( x) 在 (?∞, 0) 上是增函数.
复习参考题
 
A组
 
1.用列举法表示下列集合: (1) A = {x | x 2 = 9} ; (2) B = {x ∈ N |1 ≤ x ≤ 2} ; (3) C = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} . 1.解: (1)方程 x = 9 的解为 x1 = ?3, x2 = 3 ,即集合 A = {?3, 3} ;
 
2
(2) 1 ≤ x ≤ 2 ,且 x ∈ N ,则 x = 1, 2 ,即集合 B = {1, 2} ; (3)方程 x ? 3 x + 2 = 0 的解为 x1 = 1, x2 = 2 ,即集合 C = {1, 2} .
 
2
2.设 P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形? (1) {P | PA = PB} ( A, B是两个定点) ; (2) {P | PO = 3cm} (O是定点) . 2.解: (1)由 PA = PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等, 即 {P | PA = PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线; (2) {P | PO = 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心,半径为 3cm 的圆. 3.设平面内有 ?ABC ,且 P 表示这个平面内的动点,指出属于集合
{P | PA = PB} I {P | PA = PC} 的点是什么.
3.解:集合 {P | PA = PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线, 集合 {P | PA = PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线, 得 {P | PA = PB} I {P | PA = PC} 的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心. 4.已知集合 A = {x | x = 1} , B = {x | ax = 1} .若 B ? A ,求实数 a 的值.
 
2
4.解:显然集合 A = {?1,1} ,对于集合 B = {x | ax = 1} , 当 a = 0 时,集合 B = ? ,满足 B ? A ,即 a = 0 ; 当 a ≠ 0 时,集合 B = { } ,而 B ? A ,则 得 a = ?1 ,或 a = 1 , 综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或 1 . 5.已知集合 A = {( x, y ) | 2 x ? y = 0} , B = {( x, y ) | 3 x + y = 0} , C = {( x, y ) | 2 x ? y = 3} ,求 A I B ,
1 a
1 1 = ?1 ,或 = 1 , a a
A I C , ( A I B) U ( B I C ) .
 
5.解:集合 A I B = ?( x, y ) | ?
?
?
?2 x ? y = 0 ? ? = {(0, 0)} ,即 A I B = {(0, 0)} ; ?3x + y = 0 ? ?2 x ? y = 0? ? = ? ,即 A I C = ? ; ?2 x ? y = 3 ?
集合 A I C = ?( x, y ) | ?
?
?
集合 B I C = ?( x, y ) | ?
?
?
?3x + y = 0? 3 9 ? = {( , ? )} ; 5 5 ?2 x ? y = 3?
 
3 5 9 5
则 ( A I B ) U ( B I C ) = {(0, 0), ( , ? )} . 6.求下列函数的定义域: (1) y = (2) y =
x?2? x+5 ; x?4 . | x | ?5
6.解: (1)要使原式有意义,则 ?
?x ? 2 ≥ 0 ,即 x ≥ 2 , ?x + 5 ≥ 0
得函数的定义域为 [2, +∞) ;
(2)要使原式有意义,则 ?
?x ? 4 ≥ 0 ,即 x ≥ 4 ,且 x ≠ 5 , ?| x | ?5 ≠ 0
得函数的定义域为 [4,5) U (5, +∞ ) . 7.已知函数 f ( x ) =
1? x ,求: 1+ x
 
(2) f ( a + 1)( a ≠ ?2) .
(1) f ( a ) + 1( a ≠ ?1) ; 7.解: (1)因为 f ( x ) =
1? x , 1+ x 1? a 1? a 2 ,得 f ( a ) + 1 = +1 = , 所以 f (a ) = 1+ a 1+ a 1+ a 2 即 f (a) + 1 = ; 1+ a 1? x , (2)因为 f ( x ) = 1+ x 1 ? (a + 1) a 所以 f ( a + 1) = =? , 1+ a +1 a+2 a 即 f ( a + 1) = ? . a+2
1 + x2 8.设 f ( x ) = ,求证: 1 ? x2
 
(1) f ( ? x ) = f ( x ) ; (2) f ( ) = ? f ( x ) .
1 x
8.证明: (1)因为 f ( x ) =
1 + x2 , 1 ? x2
所以 f ( ? x) =
1 + (? x) 2 1 + x 2 = = f ( x) , 1 ? (? x) 2 1 ? x 2
即 f (? x) = f ( x) ; (2)因为 f ( x ) =
1 + x2 , 1 ? x2
1 1 + ( )2 2 1 x = 1 + x = ? f ( x) , 所以 f ( ) = x 1 ? ( 1 )2 x 2 ? 1 x 1 即 f ( ) = ? f ( x) . x
 
9.已知函数 f ( x ) = 4 x 2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围.
9.解:该二次函数的对称轴为 x =
k , 8
函数 f ( x) = 4 x 2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,
k k ≥ 20 ,或 ≤ 5 ,得 k ≥ 160 ,或 k ≤ 40 , 8 8 即实数 k 的取值范围为 k ≥ 160 ,或 k ≤ 40 .
 
则 10.已知函数 y = x , (1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 (0, +∞ ) 上是增函数还是减函数? (4)它在 (?∞, 0) 上是增函数还是减函数? 10.解: (1)令 f ( x ) = x ?2 ,而 f ( ? x ) = ( ? x ) ?2 = x ?2 = f ( x ) , 即函数 y = x ?2 是偶函数; (2)函数 y = x ?2 的图象关于 y 轴对称; (3)函数 y = x ?2 在 (0, +∞ ) 上是减函数; (4)函数 y = x ?2 在 (?∞, 0) 上是增函数.
 
?2
B组
 
1.学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人, 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人, 则 15 + 8 + 14 ? 3 ? 3 ? x = 28 ,得 x = 3 , , 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 = 9 (人) 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有 9 人. 2.已知非空集合 A = {x ∈ R | x 2 = a} ,试求实数 a 的取值范围. 2.解:因为集合 A ≠ ? ,且 x ≥ 0 ,所以 a ≥ 0 .
 
2
3.设全集 U = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8, 9} , e ( A U B ) = {1,3} , A I (e B ) = {2, 4} ,求集合 B . U U 3.解:由 e ( A U B ) = {1,3} ,得 A U B = {2, 4,5, 6, 7,8,9} , U 集合 A U B 里除去 A I (e B ) ,得集合 B , U
所以集合 B = {5, 6, 7,8,9} . 4.已知函数 f ( x) = ?
? x( x + 4), x ≥ 0 .求 f (1) , f ( ?3) , f (a + 1) 的值. ? x( x ? 4), x < 0
4.解:当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x ( x + 4) ,得 f (1) = 1× (1 + 4) = 5 ; 当 x < 0 时, f ( x ) = x ( x ? 4) ,得 f ( ?3) = ?3 × ( ?3 ? 4) = 21 ;
?(a + 1)(a + 5), a ≥ ?1 f (a + 1) = ? . ?(a + 1)(a ? 3), a < ?1
 
5.证明: (1)若 f ( x ) = ax + b ,则 f (
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )= ; 2 2 x + x2 g ( x1 ) + g ( x2 ) )≤ . (2)若 g ( x ) = x 2 + ax + b ,则 g ( 1 2 2 x + x2 x +x a 5.证明: (1)因为 f ( x ) = ax + b ,得 f ( 1 ) = a 1 2 + b = ( x1 + x2 ) + b , 2 2 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) ax1 + b + ax2 + b a = = ( x1 + x2 ) + b , 2 2 2 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) 所以 f ( )= ; 2 2
 
(2)因为 g ( x ) = x 2 + ax + b ,
x1 + x2 1 x +x ) = ( x12 + x2 2 + 2 x1 x2 ) + a ( 1 2 ) + b , 2 4 2 g ( x1 ) + g ( x2 ) 1 = [( x12 + ax1 + b) + ( x2 2 + ax2 + b)] 2 2 1 x +x = ( x12 + x2 2 ) + a ( 1 2 ) + b , 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 因为 ( x1 + x2 + 2 x1 x2 ) ? ( x1 + x2 ) = ? ( x1 ? x2 ) ≤ 0 , 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 + x2 + 2 x1 x2 ) ≤ ( x1 + x2 ) , 4 2 x + x2 g ( x1 ) + g ( x2 ) 所以 g ( 1 )≤ . 2 2
 
得 g( 6.(1)已知奇函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数,试问:它在 [ ?b, ?a ] 上是增函数还是减函数? (2)已知偶函数 g ( x ) 在 [ a, b] 上是增函数,试问:它在 [ ?b, ?a ] 上是增函数还是减函数? 6.解: (1)函数 f ( x ) 在 [ ?b, ?a ] 上也是减函数,证明如下: 设 ?b < x1 < x2 < ? a ,则 a < ? x2 < ? x1 < b ,
因为函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数,则 f ( ? x2 ) > f ( ? x1 ) , 又因为函数 f ( x) 是奇函数,则 ? f ( x2 ) > ? f ( x1 ) ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 所以函数 f ( x) 在 [ ?b, ?a ] 上也是减函数; (2)函数 g ( x) 在 [ ?b, ?a ] 上是减函数,证明如下: 设 ?b < x1 < x2 < ? a ,则 a < ? x2 < ? x1 < b , 因 为 函 数 g ( x) 在 [ a, b] 上 是 增 函 数 , 则 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 税率 ( 0 0 )
g (? x2 ) < g (? x1 ) ,
 
又因为函数 g ( x) 是偶函数,则 g ( x2 ) < g ( x1 ) ,即
5 超过 500 元至 2000 元的部分 10 超过 2000 元至 5000 元的部分 15
 
所以函数 g ( x) 在 [ ?b, ?a ] 上是减函数.
g ( x1 ) > g ( x2 ) ,
7.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分 不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?
7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为 y 元,则
?0, 0 ≤ x ≤ 2000 ?( x ? 2000) × 5%, 2000 < x ≤ 2500 ? y=? ?25 + ( x ? 2500) ×10%, 2500 < x ≤ 4000 ?175 + ( x ? 4000) ×15%, 4000 < x ≤ 5000 ? 由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,得 2500 < x ≤ 4000 ,
 
25 + ( x ? 2500) × 10% = 26.78 ,得 x = 2517.8 ,
 
所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.
 

本文标题:高中数学必修1课后习题答案 原文链接:http://www.msn11.com/article/22.html

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