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算法案例教案

发布: 2015-11-18 |  作者: admin |  浏览:

  一.【课标要求】

  通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

  二.【命题走向】

  算法是高中数学新课程中的新增内容,本讲的重点是几种重要的算法案例思想,复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。

  预测2010年高考队本讲的考察是:以选择题或填空题的形式出现,分值在5分左右,考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目 三.【要点精讲】

  1.求最大公约数

  (1)短除法

  求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来 (2)穷举法(也叫枚举法)

  穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数 (3)辗转相除法

  辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法可以描述如下:

  ① 输入两个正整数m和n;

  ② 求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中;

  ③更新被除数和余数:m=n,n=r;

  ④判断余数r是否为0。若余数为0,则输出结果;否则转向第②步继续循环执行 如此循环,直到得到结果为止。

  (4)更相减损术

  我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之 步骤:

  Ⅰ.任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。

  Ⅱ.以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。

  2.秦九韶算法

  秦九韶算法的一般规则:

  秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值,可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题,即求

  v0=an

  v1=anx+an-1

  v2=v1x+an-2

  v3=v2x+an-3

  ……..

  vn=vn-1x+a0

  观察秦九韶算法的数学模型,计算vk时要用到vk-1的值,若令v0=an。

  我们可以得到下面的递推公式:

  v0=an

  vk=vk-1+an-k(k=1,2,…n)

  这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,可以用循环结构来实现 3.进位制

  (1)概念

  进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。

  对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。

  一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:

  ,

  而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。

  (2)进位制间的转换

  关于进位制的转换,教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解,并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是,计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。

  非十进制数转换为十进制数比较简单,只要计算下面的式子值即可:

  第一步:从左到右依次取出k进制数 各位上的数字,乘以相应的k的幂,k的幂从n开始取值,每次递减1,递减到0,即 ;

  第二步:把所得到的乘积加起来,所得的结果就是相应的十进制数。

  十进制数转换成非十进制数

  把十进制数转换为二进制数,教科书上提供了“除2取余法”,我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。

  非十进制之间的转换

  一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法,也就是先有二进制数转化为十进制数,再由十进制数转化成为16进制数。

  四.【典例解析】

  题型1:求最大公约数

  例1.(1)用辗转相除法求123和48的最大公约数?

  (2)用更相减损来求80和36的最大公约数?

  解析:(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下:(建立带余除式)

  123=2×48+27

  48=1×27+21

  27=1×21+6

  21=3×6+3

  6=2×3+0

  最后6能被3整除,得123和48的最大公约数为3。

  (2)分析:我们将80作为大数,36作为小数,执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等 更相减损术:

  因为80和36都是偶数,要去公因数2。

  80÷2=40,36÷2=18;

  40和18都是偶数,要去公因数2。

  40÷2=20,18÷2=9

  下面来求20与9的最大公约数,

  20-9=11

  11-9=2

  9-2=7

  7-2=5

  5-2=3

  3-2=1

  2-1=1

  可得80和36的最大公约数为22×1=4。

  点评:对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等。

  例2.设计一个算法,求出840与1764的最大公因数。

  解析:我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法,下面的算法就是在此基础上设计的。

  解题思路如下:

  首先对两个数进行素因数分解:

  840=23×3×5×7,1764=22×32×72,

  其次,确定两个数的公共素因数:2,3,7。

  接着确定公共素因数的指数:对于公共素因数2,840中为23,1764中为22,应取较少的一个22,同理可得下面的因数为3和7。

  算法步骤:

  第一步:将840进行素数分解23×3×5×7;

  第二步:将1764进行素数分解22×32×72;

  第三步:确定它们的公共素因数:2,3,7;

  第四步:确定公共素因数2,3,7的指数分别是:2,1,1;

  第五步:最大公因数为22×31×71=84。

  点评:质数是除1以外只能被1和本身整除的正整数,它应该是无限多个,但是目前没有一个规律来确定所有的质数 题型2:秦九韶算法

  例3.(2009福州模拟)如果执行右面的程序框图,那么输出的 (   )

  否

  是

  A.22 B.46 C. D.190

  答案 C

  2、(2009浙江卷理)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 的

  值是 ( )

  A. B. C. D.

  【解析】对于 ,而对于 ,则

  ,后面是 ,不

  符合条件时输出的 .

  答案 A

  3、(2009天津卷理)阅读上(右)图的程序框图,则输出的S= ( )

  A 26 B 35 C 40 D 57

  【解析】当 时, ;当 时, ;当

  时, ;当 时, ;当 时,

  ;当 时, ,故选择C。

  答案  C

  4(2009安徽卷文)程序框图上(右)(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______。

  【解析】根据流程图可得 的取值依次为1、3、7、15、31、63……

  答案 127

  点评:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达 ,加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次。

  例4.已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,求当x=5时的函数的值。

  解析:把多项式变形为:f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7

  =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7

  计算的过程可以列表表示为:

  多项式x系数2-5-43-67运算

  运算所得的值

  10251055402670+

  变形后x的"系数"25211085342677*5

  最后的系数2677即为所求的值 算法过程:

  v0=2

  v1=2×5-5=5

  v2=5×5-4=21

  v3=21×5+3=108

  v4=108×5-6=534

  v5=534×5+7=2677

  点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为0的项补齐后再计算。

  题型3:进位值

  例5.把十进制数89化为三进制数,并写出程序语句.

  解析:具体的计算方法如下:

  89=3×29+2

  29=3×9+2

  9=3×3+0

  3=3×1+0

  1=3×0+1

  所以:89(10)=1011001(3)。

  点评:根据三进制数满三进一的原则,可以用3连续去除89及其所的得的商,然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。

  例6.将8进制数314706(8)化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序。

  开始

  输入:m,n

  r=m MOD n

  m=n

  n=r

  r=0?

  输出:

  开始

  Y

  N

  解析:314706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902。

  所以,化为十进制数是104902。

  点评:利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706(8)化为十进制数,然后根据该算法,利用GET函数,应用循环结构可以设计程序。

  五.【思维总结】

  1.求最大公约数

  (1)辗转相除法

  程序框图与程序语句

  程序:

  INPUT “m,n=”;m,n

  DO

  r=m MOD n

  m=n

  n=r

  LOOP UNTIL r=0

  PRINT

  END

  (2)更相减损术

  更相减损术程序:

  INPUT “请输入两个不相等的正整数”;a,b

  i=0

  WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0

  a=a/2

  b=b/2

  i=i+1

  WEND

  DO

  IF b

  t=a

  a=b

  b=t

  END IF

  c=a-b

  a=b

  b=c

  LOOP UNTIL a=b

  PRINT a^i

  END

  对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数

  方法适用范围及特点

  短除法适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数,简便易操作。

  穷举法适合计算机操作,但一一验证过于繁琐。

  辗转相除法适用于两个较大的正整数,以除法为主,辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。

  更相减损术适用于两个较大的正整数,更相减损术以减法为主,计算次数上相对于辗转相处法较多。

  2.我们以这个5次多项式函数为例加以说明,设:

  f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

  首先,让我们以5次多项式一步步地进行改写:

  f(x)=(a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1)x+a0

  =((a5x3+a4x2+ a3x+a2)x+a1)x+a0

  =(((a5x2+a4x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0

  =((((a5x+a4)x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0

  上面的分层计算。只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的括号,然后加上常数项即可。

  开始

  输入a1,a2,a3,a4,a5,x0

  n=1,v=v5

  n≤6?

  v=v×x0+a5-n

  n=n+1

  输出v

  结束

本文标题:算法案例教案 原文链接:http://www.msn11.com/article/33.html

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