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高二数学必修3几何概型教案

发布: 2015-11-02 |  作者: admin |  浏览:

几何概型
使用说明:此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的,从概念的分析,到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织,很多例题需要配套使用,效果更好。
一.正确区分古典概型与几何概型
题组一:1.在区间[0,10]上任意取一个整数,则不大于3的概率为:        。
    2.在区间[0,10]上任意取一个实数,则不大于3的概率为:       。
  分析:此题组中,问题1因为总的基本事件是[0,10]内的全部整数,所以基本事件总数为有限个11,而不大于3的基本事件有4个,此问题属于古典概型,所以所求概率为。问题2中,因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,此问题属于几何概型,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10]长度为10,而事件"不大于3"对应区间[0,3]长度为3,所以所求概率为。
  此题组中的两个问题,每个基本事件都是等可能发生的,但是问题1中的总基本事件是有限个,属于古典概型;而问题2中的总基本事件是无限个,属于几何概型;可见古典概型与几何概型有联系也有区别,但在实际解决问题中,关键还在于正确区分古典概型与几何概型。
  二.准确分清几何概型中的测度
题组二:1.等腰Rt△ABC中,∠C=900,在直角边BC上任取一点M,求∠CAM<300的概率。
  2.等腰Rt△ABC中,∠C=900,在∠CAB内作射线交线段BC于点M,求∠CAM<300的概率。
 
 
 
 
分析:此题组中的两个问题,很显然都是几何概型的问题,但是考察的测度不一样。问题1的测度定性为线段长度,当∠CAM0=300时,,合条件的点M等可能的分布在线段上,所以所求概率等于。而问题2的测度定性为角度,过点A作射线与线段CB相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB内,∠CAB=450,所以所求概率等于。
    此题组中的两个问题都是几何概型的问题,但是选取的测度不一样,在解决时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问题时,要认真审题,分清问题考察的测度,从而正确解决问题。
 
知识巩固:
下列概率问题中哪些属于几何概型?
(1)从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品,求正品的概率。
(2)随机地向四方格里投掷硬币50次,统计硬币正面朝上的概率。
(3)箭靶的直径为1m,其中,靶心的直径只有12cm,任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少? 
(4)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时才可离去,求两人能会面的概率。
 
对比古典概型和几何概型的特点,判断(1)、(3)属于古典概型;(2)、(4)属于几何概型。
 
例题1:⑴ 某人午睡醒后,发现表停了,于是打开收音机等候整点报时,那么等待时间不多于10分钟的概率是多大?1)这是什么概型,为什么?(几何概型)
2)借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件?
(圆或线段)
3)该如何建立数学模型? 
解:设A="等待时间不超过10分钟",则或
 
 
  ⑵某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。
  分析:某人醒来在整点间即60分钟是随机的,等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域,整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域,因此本题的变量可以看作是时间的长度,于是可以通过长度比公式计算其概率。
  可设"等待的时间不多于10分钟"这一事件记作事件A,则
     ;
     显然这是一个与长度有关的几何概型问题,问题比较简单,学生也易于理解。
     问题拓展:某人午觉醒来,发现表停了,则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少?
     分析:本题的特点在于学生易犯固定思维的错误,习惯性的用上题中的时间长度之比来解决,得到错误的答案。学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。本题中包含了两个变量,一个是手表停的分钟数,可以在[0,60]内的任意时刻,另一个变量是实际分钟数,也可以在[0,60]内的任意时刻。所以本题的解决应以轴和轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数,那么差异不超过5分钟的充要条件是,从而可以绘制坐标轴,数形结合,得到结果。
由于的所有可能结果是边长为60的正方形,
 
 
 
差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示,
记"差异不超过5分钟"为事件
因此,差异不超过5分钟的概率。
 
 
例题2:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝
色、红色、靶心是金色。金色靶心叫"黄心"。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少? 
 
 
 
 
 
1、抛阶砖游戏
"抛阶砖"是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的"金币"(设"金币"的半径为1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出的"金币"若恰好落在任何一个阶砖(边长为2.1的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠),便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引,纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品,请用今天所学知识解释这是为什么。
分析:若中奖,金币圆心必位于右图的绿色区域A内.圆心随机地落在"阶砖"的任何位置,所以这是一个几何概型。其概率为
 
                                      
                                     
                                     
                                     
练习:面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。
 
2a
 
 
 
 
 
 
 
分析:首先可以判定此试验为几何概型,我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心O的位置即可,一旦中心位置确定,只要当中心O到其最近平行线的距离大于其半径时,就满足事件A,由此不难想到由中心O向靠的的最近的平行线引垂线,垂足为M,显然线段OM长度是介于0到a之间的一个实数,接下来我们做一条长度为a的线段,因此这个实数在此线段上就对应着一个点,从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点,所以这条线段就可以理解为区域Ω,其长度为a。接下来我们再来看事件A所理解的区域,首先看一种临界状态,就是当硬币与平行线相切时,此时中心O到最近平行线的距离r,显然只有当中心O到最近平行线的距离大于r时满足事件A,所以事件A理解的区域其长度应为a-r,所以
                    
 
2、抽奖游戏的再思考:
    在两种情况下分别求抽中电视机的概率是多少
(1)如果在转盘上,区域1缩小为一个单点,那么要求概率是多少?
 
(2)如果在转盘上,区域1扩大为整个转盘扣除一个单点,那么所求概率又是多少?
 
总结:用几何概型解释概率为0的事件不一定是不可能事件;概率为1的事件不一定为必然事件。
 
3、甲乙两人相约在14:00-15:00在某地会面,假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相等的,先到的的等20分钟后便可以离开,试求两个人会面的概率。
分析:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能会面的充要条件为
︱x-y︱20,如图所示。
故所求概率为阴影面积与正方形面积之比。
 
 
练习:
一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米,由于光线较暗,想在中间再随意安装两盏路灯C、D,顺序为A、C、D、B. 问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少?
  解: 设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.则所有可能结果为:;记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A,则事件A的可能结果为.
如图所示,试验全部结果构成区域Ω为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A所构成区域是三条直线,,所夹中间的阴影部分.
  
根据几何概型公式,得到:所以,A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为.
 

本文标题:高二数学必修3几何概型教案 原文链接:http://www.msn11.com/article/5.html

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